Constellation : StarLight's Imagination Factory

  이 글 보고 한번 써 봅니다. 조금 더러운 이야기니 주의 바랍니다;; 식사중이셨다면 살포시 뒤로 버튼을 눌러 주세요 ^^;

  IE 사용자중 수식이 제대로 안 보이신다면 왼쪽의 공지사항에 있는 프로그램을 받아 주세요 ^^; (파이어폭스 사용자는 관계 없으실 겁니다.)

  그럼 이제 본론으로 들어갑시다. 빛의 속도로 똥을 싸서 그 똥이 지구에 부딭치면 지구는 과연 어떻게 될까요? 한번 계산 해 보죠. 일단 마찰은 무시하겠습니다 ^^; (마찰이 있으면 아마 그 주변은 불바다가 될 껍니다 ㅎㅎ;)

  먼저 똥의 무게를 200g이라 하죠.

       `m_d = 0.200 text{kg}`

  그리고 똥이 빛의 속도로 움직이면 아인슈타인의 상대성이론에 위배대므로 똥의 속도를 빛의 속도의 0.9배로 잡습니다.

       `v_d = 0.9c`

  이정도만 되어도 엄청 빠른 거에요 ㅎㅎ;
  그러면 지구가 등속 직선 운동을 한다 가정하고, 특수 상대성 이론을 적용 시켜 운동량과 에너지를 구해 보죠. 먼저 과연 똥이 얼마나 많은 운동량을 가지고 있는지 보겠습니다.
  특수 상대성 이론에선 운동량이 아래와 같이 정의 됩니다.

       `p = gamma m v` , `gamma = 1/sqrt{1 - v^2 / c^2}`

  그러면 똥의 운동량을 계산 해 보면 아래의 결과를 얻습니다.

       `p_d = 1.24 times 10^8 text{kg} cdot text{m/s}`

  큰 값이긴 한데 얼마나 큰 값인지 감이 안오시죠? 그래서 이 똥을 싼 사람이 운동량 보존에 의해 얼마나 공중으로 튕겨 나가는지 계산해 보겠습니다.
  먼저 몸무게가 80.0kg인 사람을 생각해 보겠습니다.

       `m_h = 80.0kg`

  자 그럼 운동량이 보존 되어야 하니까 방정식을 세워서 계산해보면........

       `p_d = p_h = gamma m_h v_h
       `v_h = {p_d c} / sqrt{p_d ^2 + m_h ^2 c^2}`
           `= 1.55 times 10^6 text{m/s} = 5.57 times 10^6 text{km/h} = 0.00516 c`

  대략 시간당 5백만 km를 간단 소립니다;; 지구에서 달 까지가 대략 2백만 km니.;; 엄청난 속도로 튕겨져 나가죠? 마치 아래 그림처럼 말이죠 ㅎ.

  그럼 이 무시무시한 똥이 지구에 부딭치면 지구는 어떻게 될까요? 알려진 지구의 질량은 다음과 같습니다.

       `m_e = 5.97 times 10^24 text{kg}`

  위와 마찬가지로 운동량 보존을 통해 지구가 얼마나 움직일 지 구해보죠.

       `v_e = {p_d c} / sqrt{p_d ^2 + m_e ^2 c^2}`
           `= 2.08 times 10 ^-17 text{m/s}`
 
  오, 생각보가 값이 작게 나왔습니다. 눈하나 깜짝 안하네요!. 완전 계란으로 바위친 꼴입니다만.. 그래도 아직 문제가 끝난 것은 아니죠. 바로 에너지 보존 문제가 남아있기 때문입니다. 위 식에서 지구의 속도가 상당히 작게 나왔기 때문에 지구가 안 움직였다고 가정해 보겠습니다. 똥이 멈췄으니 에너지가 줄어드는건 당연 합니다. 에너지는 보존 되어야 하기 때문에 이 남은 에너지가 무언가로 전환 되어야 겠죠? 이 에너지가 열에너지로 전부 바뀌었다고 가정하고 똥의 에너지 변화를 구해 봅시다.
  특수상대성 이론에 따르면 전체 에너지는 다음과 같이 정의 됩니다.

       `E = sqrt{p^2 c^2 + (mc^2)^2}`

  여기서 운동량이 0(멈춤)이면 다들 잘 알고 있는 유명한 식이 하나 나오죠.

       `E = mc^2`

  그러면 이제 똥의 에너지를 계산 합시다.
  처음 발사된 똥이 갖는 에너지는 다음과 같습니다.

       `E_i = sqrt{p_d ^2 c^2 + (m_d c^2)^2} = 4.13 times 10^16 text{J}`

  값이 꽤 크네요! 이 식엔 사실 똥의 질량에 대한 에너지도 포함되어 있기 때문에 조금 큽니다만.. 일단 똥이 멈췄을 때의 에너지도 구해보죠.

       `E_f = m_d c^2 = 1.80 times 10^16 text{J}`

  자 이제 에너지 차이를 구해보겠습니다.

       `Delta E = |E_f - E_i| = 2.33 times 10^16 text{J}`

  헐.. 왠지 숫자가 좀 크군요. 그래도 감이 잘 안오시는 분들을 위해 준비한 게 있습니다.
  흔히 칼로리 라고 부르는 Kilocalorie(kcal)의 정의는 물 1kg을 1℃ 높이는데 드는 열량 입니다. 그런데 1kcal은 다음의 관계를 가지고 있죠.

       `1 text{kcal} = 4184 text{J}`

  환산된 에너지 차이는 다음과 같습니다.

       `Delta E = 5.57 times 10^12 text{kcal}`

  무지막지 하죠? 그래도 감이 안오신다고요! 그럼 이번엔 이 똥을 물 1000 톤이 담겨 있는 보온수조에 쌌다고 해 봅시다. 순수하게 증발은 무시하고 물의 온도가 올라가는 것만 생각해 보죠. 물 1kg을 1℃ 높이는데 1kcal이 드니 1000톤의 물을 1℃ 높이는데는 백만kcal가 들겠네요. 그러면 과연 물의 온도는 얼마까지 올라갈까요?

       `Delta T = {Delta E} / {1000000 text{kcal/℃}} = 5,570,000 ℃`

  헐.. 이거 장난이 아닌데요? 무려 수조의 온도가 5백만도나 올랐습니다! 태양 표면의 온도가 대략 5000도임을 감안하면... 이렇게 되는게 농담이 아니겠군요..


행여 실험해 보신다고 바다에 똥 싸시는 분들 없으시길 바랍니다;;;

로렌츠 좌표 변환(Lorentz Transformation)

  로렌츠 좌표변환은 Galilean Transform에서 맥스웰 방정식이 역학적 법칙이 아니게 되는 것을 해결하기 위해 처음 등장한 좌표 변환이다. 이 변환은 특수 상대성 이론에서 좌표 변환을 할때 자주 쓰인다.
       `x' = gamma ( x - v t)`
       `y' = y`
       `z' = z`
       `ct' = gamma (ct - v/c x)`
      
   여기서 `gamma = 1 / sqrt{1-(v^2/c^2)}

로렌츠 역좌표 변환(Inverse Lorentz Transformation)

  로렌츠 좌표변환의 역변환은 다음과 같다.

       `x = gamma ( x' + v t)`
       `y = y'`
       `z = z'`
       `ct = gamma (ct' + v/c x)`

로렌츠 속도 변환(Lorentz Velocity Transformation)

  그렇다면 위 좌표계에서 속도는 어떻게 변환될까? 먼저 변환된 좌표계에서의 속도를 미분으로 표현해보자.

       `u_x ' = {dx'}/{dt'} = {dx'}/{dt} {dt}/{dt'}`
       `u_y ' = {dy'}/{dt'} = {dy'}/{dt} {dt}/{dt'}`
       `u_z ' = {dz'}/{dt'} = {dz'}/{dt} {dt}/{dt'}`

  위와같이 chain rule을 이용해 우리가 미분 할 수 있는 양으로 전개가 가능하다. 이제 각 미분을 계산 해 보자.

       `{dx'}/dt = gamma (dx/dt - v) = gamma (u_x -v)`
       `{dy'}/dt = dy/dt = u_y`
       `{dz'}/dt = dz/dt = u_z`
       `{dt}/dt' = ({dt'}/dt)^-1 = (gamma ( 1 - v/c^2 dx/dt))^-1 = 1/ {gamma (1- {u_x v} /c^2)}`

  이제 위 식들을 정리하면 로렌츠 속도 변환을 얻는다.

      `u_x ' = {dx'}/{dt} {dt}/{dt'} = {u_x - v} / {1- {u_x v} /c^2} `
      `u_y ' = {dy'}/{dt} {dt}/{dt'} = u_y / {gamma (1- {u_x v} /c^2)}`
      `u_z ' = {dz'}/{dt} {dt}/{dt'} = u_z / {gamma (1- {u_x v} /c^2)}`

로렌츠 변환에서의 가속도(Lorentz Transformation for Acceleration)

   이번엔 변환된 좌표계에서의 가속도를 구해보자. 먼저 가속도를 미분으로 나타낸다.

       `a_x ' = {du_x '}/{dt'} = {du_x '}/{dt} {dt}/{dt'}`

  위와 마찬가지로 각 미분들을 구한다.

       `{du_x '}/{dt} = {{du_x}/dt (1- {u_x v} /c^2) - (u_x - v)(- v/c^2 {du_x}/dt ) } / {(1- {u_x v} /c^2)^2} = a_x {1 - {v^2}/c^2}/ {(1- {u_x v} /c^2)^2} `

  이제 위 식들을 정리하면 아래의 변환을 얻는다.

        `a_x' = a_x {1 - {v^2}/c^2}/ {(1- {u_x v} /c^2)^2} (1-{v^2}/c^2)^{1/2}/{(1- {u_x v} /c^2)}`
            `= a_x (1- {v^2}/ c^2 )^{3/2} ( 1- {u_x v} /c^2 )^-3`
            `= a_x / {gamma^3 (1- {u_x v} / c^2 ) ^3}