Constellation : StarLight's Imagination Factory

자 지금부터 진정한 외계어의 세계로 빠져 보시겠습니다~.

1. Cartesian Coordinate
    `vec r = x hat x + y hat y + z hat z`
    `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
    `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`

2. Cylindrical Coordinate
    `vec r = r hat r + theta hat theta + z hat z`
    `vec v = ?`
    `vec a = ?`
  1) 속도
     먼저 `x`, `y`를 `r`, `theta`로 표현해보자.

       `x = r cos theta`
       `y = r sin theta`

     양변을 `t`로 미분한다.

       `dot x = dot r cos theta - r dot theta sin theta`
       `dot y = dot r sin theta + r dot theta cos theta`

     그런데, `hat r`, `hat theta`는 다음과 같이 표현된다.

       `hat r = cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y`
       `hat theta = -sin theta cdot hat x + cos theta cdot hat y`

     따라서 위 식을 정리하면

       `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
          `=(dot r cos theta - r dot theta sin theta) hat x + (dot r sin theta + r dot theta cos theta) hat y + z hat z`
          `=dot r(cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y) + r dot theta(-sin theta hat x + cos theta hat y) + z hat z`
          `= dot r hat r + r dot theta hat theta + z hat z`
    2) 가속도
       `dot x`, `dot y`를 한번 더 t로 미분한다.

          `ddot x = ddot r cos theta - dot r dot theta sin theta - dot r dot theta sin theta - r ddot theta sin theta - r dot theta ^2 cos theta`
          `ddot y = ddot r sin theta + dot r dot theta cos theta + dot r dot theta cos theta + r ddot theta cos theta - r dot theta ^2 sin theta`

       위 식을 정리하면

          `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`
             `=(ddot r - r dot theta ^2 )(cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y) + (2 dot r dot theta + r ddot theta )(-sin theta hat x + cos theta hat y) + ddot z hat z`
             `=(ddot r - r dot theta ^2 ) hat r + (2 dot r dot theta + r ddot theta) hat theta + ddot z hat z`

3. Spherical Coordinate
    `vec rho = rho hat rho + theta hat theta + phi hat phi`
    `vec v = ?`
    `vec a = ?`

    1) 속도
       먼저 `x`, `y`, `z`를 `rho`, `theta`, `phi`로 표현해보자

          `x = rho sin phi cos theta  `
          `y = rho sin phi sin theta  `
          `z = rho cos phi`

       양변을 `t`로 미분한다.

          `dot x = dot rho sin phi cos theta   + rho dot phi cos phi cos theta - rho dot theta sin phi sin theta `
          `dot y = dot rho sin phi sin theta  + rho dot phi cos phi sin theta  + rho dot theta sin phi cos theta`
          `dot z = dot rho cos phi - rho dot phi sin phi`

       그런데 Spherical Coordinate의 unit vector는 다음과 같이 표현된다.

          `hat rho = sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z`
          `hat phi = cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z`
          `hat theta = -sin theta hat x + cos theta hat y`

       위 식들을 정리하면

          `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
             `= dot r (sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z)`
                 `+ rho dot theta sin phi(- sin theta hat x + cos theta hat y ) `
                 `+ rho dot phi (cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z)`
              `= dot rho hat rho + rho dot theta sin phi hat theta + rho dot phi hat phi`

       2) 가속도
          `dot x`, `dot y`, `dot z`를 한번 더 t에 대해 미분하자.

             `ddot x = ddot rho sin phi cos theta + dot rho dot phi cos phi cos theta - dot rho dot theta sin phi sin theta`
                `+ dot rho dot phi cos phi cos theta + rho ddot phi cos phi cos theta - rho dot phi ^2 sin phi cos theta - rho dot phi dot theta cos phi sin theta `
                `- dot rho dot theta sin phi sin theta - rho ddot theta sin phi sin theta - rho dot phi dot theta cos phi sin theta - rho dot theta ^2 sin phi cos theta`
             `ddot y = ddot rho sin phi sin theta + dot rho dot phi cos phi sin theta + dot rho dot theta sin phi cos theta `
                `+ dot rho dot phi cos phi sin theta + rho ddot phi cos phi sin theta - rho dot phi ^2 sin phi sin theta + rho dot phi dot theta cos phi cos theta `
                `+ dot rho dot theta sin phi cos theta + rho ddot theta sin phi cos theta + rho dot phi dot theta cos phi cos theta - rho dot theta ^2 sin phi sin theta`
             `ddot z = ddot rho cos phi - dot rho dot phi sin phi`
                 `- dot rho dot phi sin phi - rho ddot phi sin phi - rho dot phi ^2 cos phi`

          위 식을 정리하자 (-_-).

             `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2)(sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z)`
                   `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi)(cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z)`
                   `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi )(-sin theta hat x + cos theta hat y)`
                   `(-rho dot theta ^2 sin phi)(cos theta hat x + sin theta hat y)
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2) hat r`
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi)hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`
                  `(-rho dot theta ^2 sin phi)(cos theta hat x + sin theta hat y)

           그런데 `cos theta hat x + sin theta hat y`는 아래와 같이 전개될 수 있다.

              `[(cos theta), (sin theta), (0)] = [(sin^2 phi cos theta + cos^2 phi cos theta),(sin^2 phi sin theta + cos^2 phi sin theta),(sin phi cos phi - sin phi cos phi)]`
                   `= sin phi [(sin phi cos theta),(sin phi sin theta),(cos phi)] + cos phi [(cos phi cos theta),(cos phi sin theta),(-sin phi)]`
                   `= sin phi hat r + cos phi hat phi`

           이제 마지막으로 정리하면 아래의 식을 얻는다.
             `vec a = (ddot r - dot r dot phi ^2) hat r
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi) hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`
                  `(-rho dot theta ^2 sin phi)(sin phi hat r + cos phi hat phi`)
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2 - rho dot theta ^2 sin^2 phi) hat r`
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi - rho dot theta^2 sin phi cos phi)hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`

  어떠신가요? 그 길던 식이 이렇게 짧게 변한게 신기하죠? 재미있으셨다면(퍽) 리플 남겨주세요~. 재미 없으셨다고 해도 남겨주세요~.