Constellation : StarLight's Imagination Factory

어느새 대학교 4년이 훌쩍 넘어갔네요. 그동안 많은 일들이 있었었지만. 오늘은 졸업연구 요약일지를 올려 봅니다.

지도교수님 고르기

저희학교 물리과에 계시는 여러 교수님들중 최교수님, 정교수님, 심교수님, 스교수님 등등 몇몇 분들을 생각해 봤는데, 이리저리 생각해보다 천문학을 전공하시는 스교수님께 졸업연구를 하게 되었습니다. 사실 입자물리를 하시는 최교수님께 해볼까 하다 방학때 안계신다 해서 GG, 정교수님 밑에서 해볼까 하다 네트워크가 나랑 맞는 분야일까 한번 생각해보다가 넘어가고, 심교수님의 고체이론도 생각해봤는데 왠지 처음보는 교수님이라..... 하다 스교수님 밑에서 하게 됬네요.

주제 선정

일단 분야 고르기부터 ㅇㅅㅇ. 교수님이 아래와 같은 분야를 제시해 주셨는데

• 일반상대론
• 입자물리학
• 천체물리학

뭐 종이접기때문에 기하적인 것에 관심도 있고 해서 일단 일반상대론 선택. 그리고 세부 주제 선택.

• 도넛형 우주에서의 쌍둥이 역설 (twin paradox in a toroidal universe)
• 상자 속의 블랙홀 열역학, 복사 (black hole thermodynamics in a box of radiation)

전자도 재미있을것 같지만 왠지 블랙홀이 끌려 무려 블랙홀 열역학 을 선택 ㅎㄷㄷ.


뭐 어찌 되었든 이 길고 긴 삽질의 서막이 올랐습니다.

시도 1

시도 1: 슈바르츠쉴트 반경이 질량에 비례하니까 Canonical ensemble 에 압력과 부피에 대한 라플라스 변환을 사용한 새로운 앙상블을 사용해 분배함수를 구하고 블랙홀의 열역학적 성질을 밝혀냄.

Prof. Stewart: 블랙홀의 압력을 어떻게 정의하지? 온도와 엔트로피를 사용하는 방식으로 접근하는 것이 좋을 것 같다.


이쯤 해서 양자장론 공부모임에 참여.

Prof. Stewart: Good.

질문: 양자장론이 블랙홀 열역학을 탐구하는데 유용한가?

Prof. Stewart: 현재 레벨로는 힘들지만, 좀 더 상위레벨애선 양자장론으로 온도를 구할 수 있으므로 블랙홀의 열역학적 성질을 규명할 수 있음.

공부: Schwarzschild black hole, Kerr black hole, Reissner-Nordström black hole 조사.

Prof. Stewart: 너무 복잡하니까 Schwarzschild blackhole 에 대해서만 진행.


뭐 할일이 줄어들긴 했지만서도... 이때까진 아쉽다고 생각했습니다.

시도 2

시도 2: 블랙홀의 온도는 질량의 역수 또는 그보다 더 높은 차수에 비례, 이유: 우주 전체를 생각하면 온도가 그다지 높지 않다. 하지만, 질량의 양수차항이 있으면 온도가 매우 높아야 함.

Prof. Stewart: 정확한 계산은 양자장론이 필요하지만, 추측은 맞음. 하지만 이유는 좀 더 논리적, 물리적인 이유 필요.

나: 생각해보니 exp(-x) 도 있고, 굳이 질량의 양수차항이 없어져야 할 이유가 없음.


질문: 상대성이론에선 입자가 빠져나오는게 불가능한데, 흑체 복사가 가능한가?

Prof. Stewart: 양자역학적으론 터널링을 통해 빠져 나옴.

질문: 슈바르츠쉴트 블랙홀은 구면대칭이므로 P 대칭이 있다. 그러면 CPT 대칭정리에 의해 CT 대칭이 되어야 하는데. 그러면 이게 화이트홀일까?

Prof. Stewart: 이론상으론 CT 대칭이 성립해야 하지만 상태로 보면 아쉽게도 CT 대칭이 깨져있음, 실제 블랙홀에선 T 대칭이 깨져있음. 하지만 슈바르츠쉴트 블랙홀은 T 대칭이 있기 때문에 화이트홀해가 존재함.

시도 3

시도 3: T 를 로랑 전개, 양수차항은 우주 배경 복사로 자르고, 블랙홀 질량이 크므로 음수차항은 1차근사. 이것과 흑체복사 공식을 가지고 열역학적 성질, 블랙홀의 복사량, 수명등을 찾아냄.


하지만 우리의 스교수님

Prof. Stewart: 우주는 블랙홀이 아님, 1차 근사로 자르는 이유에 대해서 좀 더 물리적인 설명이 필요. 그리고 상수항은?

나: 상수항은 열역학 제 3법칙으로 없앨 수 있고, 여기까지 오는데 다음과 같은 물리들이 필요하므로 다음과 같은 상수들이 쓰일 것이다.

• 일반상대론 : G, c
• 열역학 : k
• 양자장론 : h

때문에 이 단위계 하에서 질량의 단위는 10^-8 kg 정도가 되고 블랙홀 질량은 그러면 1보다 매우 크기 때문에 결국 음수차항들은 수렴할 것이다.

Prof. Stewart: 왜 수렴해야 하지?

나: ..

뭐 어찌어찌 해서 얼렁뚱땅 넘어가고 그 다음

시도 3-1. 어찌어찌 해서 위 급수의 수렴반경을 근사적으로 구했다. 그리고 이를 이용해 위 열역학을 만족할 조건을 찾아냄. 이를 사용해 블랙홀이 될 최소 밀도를 구함. 

Prof. Stewart: 논리를 못따라 가겠다. 하지만 어떤경우에도 결론은 no. 그리고 블랙홀의 반경이 질량에 비례하므로, 밀도는 질량의 제곱에 반비례함.

나: 생각해보니 수렴성은 앞에 상수에 영향을 받는건데... ㅎㄷㄷ

시도 4

시도 4: 스칼라 장론을 써서 전파인자(propagator)를 구하고 사바사바 해보려 함.

나: 테크닉 부족, 어려움.
Prof. Stewart: 전 논리가 잘 다듬으면 더 좋을것 같다.


여기서 방학중 개별연구 눈물의 U 크리.


여기 중간에 쫌 큰 사건이 있었지만... 자세한 설명은 생략한다. (꽤나 개인적인 사정)

시도 5

시도 5: T 를 테일러 전개

Prof. Stewart: 일반적이지 않음. 특이점이 있으면? T가 질량 0 일때 최소라고 했는데 T가 질량 0 이면 발산해버리는데?

시도 6

시도 6: 블랙홀로 떨어지는 입자에 CPT 정리를 써서 T 대칭성이 있음을 보여서 복사가 있음을 보이고, 끄적끄적 해보려 함

Prof. Stewart: T 대칭성 없음.

시도 8

시도 8: T 를 로랑 전개, S 를 로랑 전개, T, S 를 다항식이라 가정. 수학적 귀납법을 통해 T, S 가 단항식이란 결론을 이끌어냄.

나와 랩 선배: 굳이 T, S 가 다항식일 이유가 모자람.


이 쯤해서 한창 시험기간이라 스페셜붕붕드링크(?)로 도핑 좀 하고..

시도 9

시도 9: 블랙홀로 가상실험을 해 엔트로피가 만족해야할 조건
과, 최소 엔트로피 S(0) = 0 을 구함. 엔트로피에는 특이점이 없음, 증가함수. 엔트로피는 테일러 전개가 가능. 블랙홀은 음수온도를 가지지 않음.

Prof. Stewart: exactly.

시도 9-1: 위에서 구한 조건을 가지고 엔트로피가 오목함수임을 보여서 온도의 조건을 구하려 함.

나: 위에서 구한 조건은 좀 강해 보이긴 하지만, 결국 증가함수만을 말하는 거고 오목함수임을 보이는데는 부족.


시도 9-2: 간단하게 1D 블랙홀부터 생각. 밀도가 일정해서 엔트로피에 덧셈이 성립할거라고 가정. 엔트로피와 온도를 구함.

Prof. Stewart: 이렇게 할 필요 없음. 있음직하지도 않음.

시도 10

시도 10: 블랙홀을 흑체로 보고, 들어온 입자는 빠져 나갈 수 없으므로, 상자속 입자의 퍼텐셜을 가정한다. 이 우물의 크기 L 은 블랙홀의 반경 R 에 비례한다.


블랙홀의 반경 R 은 질량 M 에 비례하므로, 우물의 크기 L 은 질량 M 에 비례한다.


상자속 입자에서 바닥상태 입자의 파장은 우물의 크기에 비례한다.


그러므로


빈의 변위법칙에 의하면 흑체복사의 세기분포의 최대값의 파장은 온도에 반비례하므로


볼츠만 통계역학에 의하면 바닥상태가 가장 발견확률이 높으므로 이를 최대값 파장에 비례하다고 놓으면


이 되고 최종적으로 아래의 결론을 얻는다.


Prof. Stewart: 약간 쓸데없는 가정들이 들어가 있음. 좀 더 다듬으면 잘 될것 같다. 하지만 로랑급수로 전개하는 논리도 완성시켜볼것. 아이디어는 나쁘지 않음.

시도 11

시도 11: 블랙홀의 질량이 조금 변했을때의 온도를 생각, 이때 온도의 역수를 테일러 전개하면
이걸 1차근사를 하자. 오일러 방법을 이용하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
여기서 n 을 무한대로 보내면 T^-1 M = a_0 + a_1 M 꼴이 됨.

Prof. Stewart: 마지막줄에 논리 오류.

나: T 의 미분에 대한 정보가 없으므로, 위와 같은 결론을 내릴 수 없음

시도 12

시도 12: 입자가 사건의 지평선을 안에서 뚫고 나오는 상황을 생각해보자.
슈바르츠쉴트 블랙홀에선 위 상황은 불가능하다. 이를 가능하게 만드려면 아래와 같이 사건의 지평선에서 쌍생성이 일어나는 상황을 생각해보자.
쌍생성시 생겨난 두 입자중 한 입자는 블랙홀 바깥으로, 다른 입자는 블랙홀 안으로 들어가 쌍소멸을 일으킨다. 이 과정은 슈바르츠쉴트 블랙홀에서 일어날 수 있다. 하지만 이 과정은 쌍생성을 일으키기 위해 사건의 지평선 위에서 많은 에너지를 필요로 한다. 때문에 위 과정이 잘 일어나려면 사건의 지평선 위에서의 중력이 커야 한다. 그러므로, 블랙홀의 흑체복사는 블랙홀의 사건의 지평선 위의 중력 크기에 비례할 것이고, 중력의 세기는 반지름에 반비례, 반지름은 블랙홀의 질량에 비례하므로 흑체복사의 양은 질량에 반비례 한다. 온도가 높을 수록 복사가 잘 일어나므로 온도는 질량에 비례하는 함수임을 추측할 수 있다.

Prof. Stewart: 조금 논리가 분명하지 않은것 같다. 논리에 틈이 있음.

나: 사건의 지평선에서 많은 에너지가 필요하므로 이를 중력이라고 가정한 부분이 조금 문제가 된듯 싶다. 뭐 아무튼........

시도 13

시도 3과 시도 10을 좀 다듬기로 함. 먼저 차원이 다른 물리량들을 비교하려면 적당한 단위를 써서 물리량들의 단위를 없애주어야 한다. 시도 3 에서 언급되었던 대로, 블랙홀 열역학에선 아래의 물리학이 들어가므로, 그 옆에 있는 상수들이 자연스럽게 나온다.

• 상대성이론 : c
• 중력 : G
• 열역학 : k
• 양자역학 : ħ (흑체복사는 양자역학적 현상임)
  

이를 기본 단위로 사용해 물리량들을 무차원화 해 각 항들의 order 들만 비교하자. 이 단위계에서 보통 항성들과 블랙홀과 같은 천체의 질량은 M > 1 이다. 여기서 질량 1 은 SI 단위로 10^-8 kg 정도이다.

시도 10 수정

블랙홀에서 터널링에 의해 빠져나가는 바닥상태의 입자는 블랙홀의 반지름 정도의 파장을 가진다.
이때 파장은, 빈의 변위법칙에 의해 온도에 반비례하고,
블랙홀의 반지름은 질량정도의 반지름을 가지므로,
이를 종합하면, 온도는 질량에 반비례 한다는 결론을 차원분석만으로 이끌어 낼 수 있다.

시도 3 수정

온도를 질량 M 에 대해 로랑전개 한다.
여기서 어느 항이 물리적으로 지배적인 항인지 알아보자.

먼저, 양수차항이 지배적인 경우, T ∝ M^n > M 이 되고, 빈의 변위법칙에 따르면, 이 때 발산되는 광자는 T 에 반비례하는 파장을 가지고 나가게 된다. 광자가 가진 에너지는 파장에 반비례 하므로, 광자는 온도 정도의 에너지를 가지고 나가게 되는데, 이 때 이 에너지가 질량 정도의 에너지가 된다. 때문에 광자 하나가 블랙홀 전체의 에너지를 가지고 나가는 상황이 되기 때문에 물리적으로 말이 되지 않는다.

상수항이 지배적인 경우, ........
질량이 매우 커지면, 양수차항이 지배적이지 않기 때문에 상수차항의 온도를 가질테고.. 값이 있으면 이상하니까?.....
0이 되어야 합니다.. 음?

Prof. Stewart: 0이 아닐수도 있지. 0이 아니라면 무엇이 되어야 할까?

나: 아니라면.... 1 정도의 크기를 같는 항이 되지 않을까요? 즉, 위 단위계에서 1정도의 온도가 되는 온도요. 대략 10^32 K 정도 입니다.

Prof. Stewart: 그렇지. 여기에 블랙홀의 곡률을 생각해보면? 질량이 매우 클때를 생각해보자.

나: 질량이 매우 크면 곡률이 매우 작아지니 거의 민코프스키 공간 같아지겠죠.

Prof. Stewart: 그리고 곡률이 작아지면 그만큼 에너지도 작아지므로, 복사도 줄겠지.

나: 그러면 질량이 매우 커지면, 거의 민코프스키 공간 같아지므로 복사가 없어야 되니 상수항이 0 이 되어야 하는군요.

Prof. Stewart: Correct.

나: 결론은 음수차 항이 지배적이 되므로, 1/M < 1 이기 때문에 1차 근사를 하면
이 됩니다. 그리고 양자 장론에 의하면
이 됩니다.

Prof. Stewart: 덧붙이자면, 중력에 대해 G 를 단위로 놓았는데 이는 뉴턴의 중력이론
을 따랐을 때고, 아인슈타인의 중력이론을 바탕으로
8πG 를 1 로 놓으면, 더 간단하게 결과가 나타난단다.
마지막으로 교수님의 한마디.

Prof. Stewart: Well done, good job.

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  라그랑지 방정식(Lagrange Equation)은 라그랑지가 1782년 "Analytical Mechanics"를 통해 발표한 운동을 기술하는 방정식이다.

       `d/dt {del mathcal{L}}/{del dot{q_sigma}} -  {del mathcal{L}}/{del q_sigma} = 0`

       `mathcal{L} = T-U` : Lagrangian
       `T` : Kinetic Energy
       `U` : Potential Energy
       `q_sigma` : 일반화 좌표계의 `sigma`번째 좌표

  물체의 저항력이 속도와 관계가 있다고 하자.
  만약, 물체의 속도가 충분히 작다면 저항력은 다음과 같이 속도의 급수 전개로 나타낼 수 있다.

       `f_마 (v) = a_0 + a_1 v + a_2 v^2 + …`

  여기서, `v = 0` 일땐 마찰력이 없으므로

       `a_0 = 0`

이다. 위의 조건들을 고려하면, 일차원 좌표에서 마찰력의 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
  
       `f_마 (v) = - alpha dot x`

위의 마찰력을 진동운동의 운동방정식에 첨가하면 아래의 식을 얻는다.

       `m ddot x = -kx - alpha dot x`

이제 이 식을 m으로 나누고 `k/m = omega_0 ^2`, `alpha/m = 2 lambda`라 놓으면 다음의 2계 미분방정식을 얻는다.

       `ddot x + 2 lambda dot x + omega_0 ^2 x = 0`

여기서 `omega_0`는 자유진동에서의 주파수이고 `lambda`는 감쇄계수라 한다.
  위 미분 방정식의 답은 크게 아래와 같이 세가지 경우로 나뉘어진다.

1. `lambda < omega_0` 인 경우 (Underdamped Oscillation)
   
• `x = a e^{-lambda t} cos (omega t + alpha)`
  
2. `lambda = omega_0` 인 경우 (Criticaly Damped Oscillation)
   
• `x = (c_1 + c_2 t) e^{-lambda t}`
3. `lambda > omega_0` 인 경우 (Overdamped Oscillation)
   
• `x = c_1 e^ {- [lambda+sqrt{(lambda^2-omega_0 ^2)}]t} + x = c_2 e^ {- [lambda-sqrt{(lambda^2-omega_0 ^2)}]t}`