Constellation : StarLight's Imagination Factory

  종이접기 수학에서 가장 재미있고, 궁금한 주제중의 하나가 종이를 납작하게 접어내려면 어떤 조건들이 필요할까 입니다. 물론 간단하게 생각하면 매우 쉬운 문제이기도 합니다. 바로 그냥 막 접으면 되지요.  하지만, 어떤 특정한 구조를 만들고 싶고 그게 어떤 방식을 통해 접어질 수 있을까를 고민할땐 이 문제가 큰 문제가 됩니다. 간단히 말하자면 아래와 같은 문제가 발생하게 되지요.


  이 문제는 수학적으로 상당히 복잡한 문제입니다. 일반적인 크리스패턴에 대해 위 문제를 증명하기가 상당히 어렵기 때문이죠. 하지만, 어떤 한 꼭지점 근처에 대해선 비교적 쉽게 그 문제를 판단할 수 있습니다. 이 문제를 판단해보기 전에 먼저 경우를 2가지로 나눕시다. 크리스패턴도 크게 두 종류로 나눌 수 있기 때문이죠.

1. 크리스패턴에 산접기, 계곡접기가 표시되지 않았을 경우 그 패턴을 납작하게 접어낼 수 있을까?
2. 크리스패턴에 산접기, 계곡접기가 표시되어 있을 경우 그 패턴을 납작하게 접어낼 수 있을까?

  그럼 이제 두 경우에 대해서 크리스패턴을 어떤 꼭지점 근처에서 납작하게 접기가 가능할 지 알아봅시다. 단, 꼭지점이 종이 안쪽에 있는 경우만 고려합니다.

용어정의

크리스패턴 : 종이접기에서 작품을 만들고 펼친 후 의미가 있는 접은선들을 이용해 만든 그래프.
꼭지점 : 크리스패턴에서 선들이 만나는 점.

경우 1 : Kawasaki's Theorem

  이 경우에는 크리스패턴에 접기 방향이 지정되어 있지 않기 때문에 우리 마음대로 접기 방향을 결정할 수 있습니다. 하지만 접기 방향에 관계업이 어떤 선을 접으면 접은 종이의 반대편이 뒤집힌다는 것은 쉽게 확인 할 수 있습니다.



  그럼 이것을 한번 일반화 시켜 봅시다. 어떤 한 꼭지점에 n개의 접은선(Crease)이 연결되어 있습니다. 그렇다면 이 점 근처로 납작하게 접기가 가능하다면 최소 어느 조건이 필요할까요?

정리 1.1

v를 종이 안의 한 꼭지점이라 하자. v 근처로 납작하게 접기가 가능하다면 그 점에 연결된 접은선의 개수는 짝수이다.

Let v be a vertex at the inside of a paper. Then v have even degree if a vertex is local flat-foldable.

증명 :
  꼭지점 근처를 도는 간단한 닫힌 회전방향이 지정된 곡선을 생각해 봅시다. 그 곡선은 닫혀있으므로 접힌 후에도 그 곡선은 닫혀있어야 합니다. 그럼 이제 홀수개의 접은선이 연결된 꼭지점을 생각해 봅시다. 종이를 한번 접을때마다 종이가 뒤집히므로 한번 곡선이 접은선을 지날때마다 곡선의 방향이 반전됩니다.() 그런데 홀수번 접혔다면 최종적으로 모든 접은선을 다 지났을때 곡선의 방향은 어떻게 될까요? 두번 접으면 방향이 원래대로 돌아오므로 출발했을때의 방향과 반대가 됩니다. 따라서 이 곡선은 닫힌 곡선이 될 수 없습니다. 따라서 홀수개의 접은선이 연결된 꼭지점은 납작하게 접을수 없습니다. 이 명제의 대우가 정리 1.1 입니다.

  이것만으로 조건이 충분할까요? 물론 아닙니다. 꼭지점에 연결된 접은선의 개수가 짝수라는 조건은 점 근처로 납작하게 접기가 가능하다는 것의 필요조건이기 때문이죠. 그렇다면 어떤 조건의 더 필요할까요?

정리 1.2  : Kawasaki's Theorem  (가와사키의 정리)

v를 2n개의 접은선이 연결된 종이 안의 한 꼭지점이라 하자. 그리고 $\alpha _1 , \alpha_2 , , \cdots , \alpha _{2n}$ 을 인접한 순서대로 접은선 사이의 각이라 하자. v가 꼭지점 근처로 납작하게 접기가 가능하다는 것은 아래와 동치이다.

$ \alpha _1 - \alpha _2 + \alpha _3 - \alpha _4 + \cdots - \alpha _{2n} = 0 $

Let v be a vertex of degree 2n in a single vertex fold and let $\alpha _1 , \alpha_2 , , \cdots , \alpha _{2n}$ be the consecutive angles between the creases. Then then v is a flat vertex fold if and only if

$ \alpha _1 - \alpha _2 + \alpha _3 - \alpha _4 + \cdots - \alpha _{2n} = 0 $

증명 : 생략. 위와 같은 아이디어로 -> 방향은 증명 가능 합니다. 역은 좀 복잡.

  위 정리들을 사용하면 산접기, 계곡접기가 주어지지 않은 크리스 패턴에서 각 꼭지점에서 납작하게 접기가 가능할지 쉽게 판단할 수 있습니다.

경우 2 : Maekawa's Theorem

  이 경우는 좀 더 제한이 많습니다. 그 때문에 위 조건만 가지고는 크리스패턴이 납작하게 접어질지 판단하기 어렵습니다. 간단히 생각해보면 4개의 산접기 접은선이 어떤 꼭지점에 연결되어 있다고 해봅시다. 물론 위 꼭지점은 Kawasaki's Theorem을 만족하는 점이고요. 실제로 접어보면 아시겠지만. 이 꼭지점 근처를 납작하게 완전히 접어내는것은 불가능합니다. 마찬가지로 4개의 계곡접기 접은선이 어떤 꼭지점에 연결되어 있어도 완전히 납작하게 접어내는것은 불가능합니다. 따라서 뭔가 이것에 대한 조건이 필요함을 쉽게 알 수 있습니다. 그렇다면 그 조건이 뭘까요?
  종이접기를 하시는 분이라면 아마 이 사실에 대해 의문점을 가지신 적이 많으실 겁니다 : 왜 항상 납작하게 접히는 점 근처로 연결된 산접기 접은선과 계곡접기 접은선의 수의 차는 항상 2일까? 많은 크리스패턴을 접어보신 분이라면 귀납적으로 이 사실을 받아드리실 수 있으실 겁니다. 그렇다면 이 차이는 항상 2인걸까요? 그에대한 정리가 Maekawa's Theorem 입니다.

정리 2.1 : Maekawa's Theorem (마에카와의 정리)

v를 종이 안의 꼭지점이라 하자. 그리고 M을 v에 연결된 산접기 접은선의 수라 하고 V를 v에 연결된 계곡접기 접은선의 수라 하자. v근처로 납작하게 접기가 가능하다면

$ M-V = +- 2 $

이다.

Let v be a vertex in a single vertex fold. Let M be the number of mountain creases and V be the number of valley creases adjacent to a vertex in a single vertex fold. If v is locally flat-foldable then,

$ M-V = +-2 $

증명 : 생략

  접은선의 접기 방향까지 결정되어 있는 경우는 위 정리까지 활용하여야만 어떤 꼭지점 근처를 납작하게 접어낼 수 있는지 판단할 수 있습니다.
  그리고 이 정리를 이용해서도 정리 1.1을 증명할 수 있습니다. n을 꼭지점에 연결된 접은선의 수라 하면


이므로 n은 짝수가 되어야 합니다.
 
  여기까지 어떤 크리스패턴에서 종이 안의 꼭지점 근처를 납작하게 접어낼 수 있을지에 대해 알아보았습니다. 하지만 아직 이를 일반화 시키기엔 많이 부족합니다. 종이 끝부분에서의 납작하게 접기의 가능성에 대해선 아직 하나도 언급하지 않았고 점 근처에서 납작하게 접을수 있다는 걸 패턴 전체로 확장이 가능한가에 대해서도 아직 언급하지 않았습니다. 다음엔 좀 더 그에대해서 알아보겠습니다.